Le trasformazioni delle coordinate di Lorentz per due sistemi di riferimento inerziali S e S', con S' che si muove con velocità costante v rispetto a S, e del vettore velocità u di un corpo parallelo agli assi coincidenti x e x' sono

Cerchiamo ora di ricavare, con l'ausilio delle derivate e dei due postulati fondamentali della relatività, queste trasformazioni.

    Basandoci sull'ipotesi che lo spazio ed il tempo siano omogenei (tutti i punti nello spazio e nel tempo sono equivalenti) ci aspettiamo che le equazioni di trasformazione cercate siano lineari, cioè equazioni di primo grado

⁽¹⁾   

Vediamo ora come determinare i sedici coefficienti a_ij.

    Per le ipotesi fatte sui sistemi di riferimento S ed S', risulta che gli assi x ed x' sono sempre fra loro coincidenti e quindi quando y=0, z=0 (coordinate dei punti dell'asse x) deve risultare sempre y'=0, z'=0 (coordinate dei punti dell'asse x'). Per sostituzione nella (1) risulta

Poiché queste equazioni devono essere verificate per ogni x e t è evidente che i coefficienti: a₂₁, a₂₄, a₃₁, a₃₄ devono essere zero sempre. Quindi le formule di trasformazione per y e z devono essere del tipo

Applichiamo lo stesso ragionamento ai piani x-y (caratterizzato da z=0) e x-z (caratterizzato da y=0) che risultano essere sempre coincidenti rispettivamente ai piani x'-y' (z'=0) e x'-z'(y'=0)

Anche questa volta i coefficienti a₂₃ e a₃₂ devono essere sempre uguali a zero. Le trasformazioni cercate per y e z dovranno allora avere la seguente forma

Determiniamo ora tali costanti utilizzando il principio di relatività.

Ipotizziamo di posizionare un'asta di lunghezza unitaria, rispetto un osservatore solidale con S, lungo l'asse y. Secondo un osservatore posto in S' l'asta avrà lunghezza a₂₂ (cioè y'=a₂₂* 1). Se adesso ipotizziamo di posizionare la stessa asta lungo l'asse y', l'osservatore del riferimento S misura per la sbarra una lunghezza pari a 1/a₂₂.

Per il primo postulato della relatività tali grandezze devono risultare identiche

Con lo stesso procedimento troviamo che a₃₃=1. Le prime due equazioni cercate sono

    Rimangono ora le equazioni di trasformazione per x' e t'.

Consideriamo dapprima l'equazione per t'.

Basandoci sulla ipotesi della isotropia dello spazio dobbiamo necessariamente supporre che t' non dipenda ne da y' e ne da z'. Quindi a₄₂ e a₄₃ devono essere necessariamente uguali a zero.

Per quanto riguarda invece l'equazione per x', sappiamo che un punto di coordinata x'=0 per S' sembra muoversi nel verso positivo dell'asse x con velocità v, quindi l'affermazione x'=0 deve essere identica a quella x=vt

Combinando le due otteniamo 

Le nostre quattro equazioni si sono ora ridotte alle

⁽²⁾   

Per determinare i coefficienti a₁₁, a₄₁, a₄₄ utilizziamo il principio della costanza della velocità della luce.

Ipotizziamo che al tempo t=t'=0 un'onda elettromagnetica sferica lasci le origini coincidenti dei riferimenti. Per il postulato suddetto, l'onda si propagherà con velocità c in tutte le direzioni. Tale propagazione è descritta dalle equazioni di due sfere uguali di raggio variabile ct e ct'

Se ora sostituiamo nella seconda equazione le trasformazioni della (2) otteniamo

Sviluppando e raccogliendo a fattore comune abbiamo

Affinché questa espressione rappresenti l'equazione della prima sfera deve risultare

Risolvendo il sistema avremo

ed infine, sostituendo questi valori per i tre coefficienti a₁₁, a₄₁, a₄₄ nel sistema (2), otteniamo le trasformazioni di Lorentz per le coordinate spazio temporali

La radice prende il nome di fattore relativistico.

    Derivando infine le funzioni x'(x,t), y'(x,t), z'(x,t) e t'(x,t) ricaviamo invece le componenti del vettore u.

Per u_x risulta

Facendo il rapporto fra i due differenziali abbiamo

ora semplifichiamo e dividiamo numeratore e denominatore per dt

Nello stesso modo possiamo determinare le altre due componenti del vettore u.

    Risulta evidente che quando la velocità v è trascurabile rispetto a c il fattore relativistico tende a 1 restituendoci così le trasformazioni di Galileo di cui abbiamo già parlato.